Texte de la 220e conférence de l'Université de tous les savoirs donnée le 7 août 2000.
Symétries et symétries brisées : la compétition ordre-désordre et les changements d'état de la matière
par Édouard Brézin
Introduction
Le sentiment d'harmonie dégagé par les symétries des objets naturels ou fabriqués, a sans aucun doute accompagné l'homme depuis ses origines. Peut-être est-ce la quasi-identité des moitiés gauche et droite de nombreuses espèces vivantes qui a conduit à l'adoption de canons esthétiques, présents à l'évidence dans la vision des premiers architectes égyptiens et grecs. Plus près de nous les cinq polyèdres réguliers platoniciens, de par leur perfection et leur unicité, apparaissaient encore à Kepler comme le modèle indispensable régissant les distances au soleil des cinq planètes du système solaire connues en son temps (la découverte en 1781 d'une sixième planète, Uranus, ne laissait plus aucune place à ce rêve).
Mais ce n'est qu'à partir de la fin du siècle dernier que, dépassant ces considérations géométriques et esthétiques, la symétrie s'est imposée progressivement comme instrument de compréhension de l'univers, et finalement, avec la notion contemporaine de symétrie locale, comme le concept premier et unificateur permettant de comprendre l'organisation de la matière, les interactions entre constituants élémentaires (électromagnétisme et forces nucléaires), et même la cosmologie de notre univers en inflation issu du big-bang initial. Le rêve de Kepler s'est en quelques sorte enfin réalisé : la symétrie détermine le monde.
Le langage nous tend des pièges difficiles à éviter. C'est ainsi qu'à côté de symétrie-dissymétrie nous trouvons ordre et désordre qui leur sont étroitement associés. Mais que l'on y prenne garde, c'est à la symétrie qu'est associé le désordre, alors que l'ordre résulte de la symétrie brisée, qui n'est pas l'absence de symétrie, notion qu'il va donc nous falloir expliciter tout à l'heure.
Le dix-neuvième siècle
Deux pionniers de l'étude des symétries ont marqué le siècle dernier, Louis Pasteur et Pierre Curie. Ils nous laissé des concepts profonds, et des interrogations qui n'ont cessé de nous accompagner depuis lors.
Les expériences du jeune Pasteur visaient à préciser la propriété connue de certains cristaux, tel le quartz, qui font tourner le plan de polarisation de la lumière. En 1848 Pasteur, chimiste d'exception avant de devenir le biologiste génial que tout le monde connaît, cherchait à préciser le lien entre cette activité optique et la structure des cristaux ; il remarqua que les cristaux de paratartrate de sodium étaient un mélange de deux « énantiomères », c'est à dire de petits cristaux qui étaient tantôt identiques, tantôt identiques à l'image des précédents dans un miroir (de même qu'une main droite n'est pas identique à une main gauche, mais simplement à l'image de celle-ci dans un miroir). Il montrait alors que chacun de ces deux types de cristaux, avait des propriétés optiques opposées, signe d'une chiralité moléculaire (du grec kheir main). Mais la découverte de Pasteur allait beaucoup plus loin, puisqu'elle mettait en évidence une différence fondamentale entre la matière inerte et la matière vivante. En effet la synthèse des paratartrates en laboratoire produisait des mésotartrates optiquement inactifs, qui se révélèrent être toujours des mélanges en parts égales des deux énantiomères, alors que la vie est profondément asymétrique puisque les cristaux de paratartrate, issus des dépôts dans le vin, étaient exclusivement lévogyres. Depuis la biochimie n'a cessé de nous révéler que les molécules constitutives du vivant, ADN, protéines, etc., étaient asymétriques, avec une homochiralité universelle : ainsi toutes les hélices constitutives de l'ADN tournent toujours dans le même sens, chez tous les êtres vivants.
Comment expliquer une telle différence entre la biochimie et la chimie du monde inanimé ? C'est bien un mystère, car les processus physiques qui régissent la constitution des atomes et molécules ne distinguent pas la droite de la gauche : une réaction chimique et celle qui serait constituée par l'image ce cette dernière dans un miroir, ont des probabilités égales de se produire. Notons tout de même que, rompant avec une conception qui faisait de cette égalité un dogme, deux physiciens américains nés en Chine, T.-D. Lee et C.-N. Yang, formulèrent en 1956 l'hypothèse que les interactions nucléaires, responsables de la radioactivité bêta, n'étaient pas identiques à leur « image dans un miroir ». Cette non-conservation de la parité fut rapidement mise en évidence expérimentalement par la physicienne de l'université de Columbia Mme C.-S. Wu. Pour ne prendre qu'une image, cela signifie que nous avons bien la possibilité de faire connaître à des extra-terrestres (connaissant les lois de la nature !) ce que nous appelons la droite et la gauche. Cette légère asymétrie serait-elle suffisante pour expliquer cette surprenante homochiralité du vivant ? D'autres préfèrent imaginer que les fluctuations statistiques dans des populations d'énantiomères droits et gauches a priori égales, peuvent produire une inégalité accidentelle qui s'auto amplifie et conduit à l'homochiralité du vivant. (Pour ma part je crois que ce mécanisme ne saurait suffire, sans invoquer également le précédent). D'autres enfin, à la suite de J. Monod, voient dans cette homochiralité la preuve d'une origine unique commune à tous les êtres vivants. Il n'est pas question ici de trancher, mais on voit combien cette observation extraordinaire de Pasteur reste au cSur des préoccupations contemporaines sur l'origine de la vie.
C'est l'étude de la piézoélectricité du quartz, cette propriété aujourd'hui si abondamment utilisée, par exemple dans nos montres à quartz, mise en évidence en 1888 par les frères Curie, qui conduisit Pierre Curie à formuler un principe de symétrie profond et général. Réfléchissant en effet sur le lien entre la direction de la polarisation électrique du cristal et celle des contraintes mécaniques qui lui donnent naissance, Pierre Curie postula que « lorsque certaines causes produisent certains effets, les éléments de symétrie des causes doivent se retrouver dans les effets possibles ». Malgré son aspect très formel ce principe est d'utilisation parfaitement opératoire, tout spécialement en présence de champs électriques et magnétiques. C'est ainsi qu'il implique qu'il n'est pas possible de réaliser des synthèses chimiques « asymétriques », privilégiant l'un des composés, droit ou gauche, de molécules possédant une chiralité déterminée, sous le simple effet d'un champ magnétique.
Nous savons aujourd'hui que ce principe de Curie, pris au pied de la lettre, ne couvre pas le champ important des symétries brisées, et il est paradoxal de constater que l'une de ces premières brisures connues, celle de la transition paramagnétique-ferromagnétique, a été découverte également par P. Curie.
Physique statistique : énergie et entropie
Il nous faut donc venir au concept important de brisure spontanée de symétrie, et auparavant situer la compétition entre ordre et désordre qui régit l'organisation de la matière. Inscrite dans la thermodynamique, elle prit tout son sens lorsque Boltzmann et Gibbs établirent à la fin du siècle dernier les fondements de la physique statistique, science de la déduction des propriétés du monde macroscopique à partir des constituants élémentaires de la matière.
Examinons un processus simple et familier comme le gel d'un liquide. Le solide ainsi formé possède une structure régulière dans laquelle les atomes ou molécules constitutives se rangent au sommet d'un réseau spatial périodique. (Remarquons au passage le lien étonnant entre mathématiques et physique en ce domaine : les symétries sont exprimées mathématiquement à l'aide de la théorie des groupes, c'est-à-dire de la théorie des opérations qui laissent un objet inchangé. Cette théorie conduit à montrer qu'il n'existe que 230 structures périodiques possibles pour ces arrangements spatiaux des molécules, et les cristallographes ont bien identifié des structures solides réalisant chacune de ces 230 possibilités. Il faut également observer que la nature sait déjouer les théorèmes mathématiques puisque aucune des structures permises ne possède de symétrie d'ordre cinq : or, à la surprise générale, on découvrit en 1984 un « solide » possédant une telle symétrie interdite. Ces structures bien identifiées aujourd'hui et appelées quasi-cristaux sont en fait parfaitement apériodiques). Si l'on tente d'imaginer le comportement des molécules constituantes lors de la solidification, le gigantisme du nombre de molécules contenues dans le moindre grain de matière rend le processus tout à fait stupéfiant. Une minuscule goutte d'eau est constituée de plusieurs milliards de milliards de molécules. Un infime abaissement de température de l'eau en dessous de 0°C, produit donc la mise en ordre spatial d'un nombre colossal d'objets sans que rien ne soit venu modifier ni les molécules ni les forces mutuelles d'interaction qui régissent leur comportement. Projetons en marche arrière le film de la fin d'un défilé au moment où tous les soldats s'éparpillent, et représentons nous un défilé imaginaire avec de très nombreux milliards de participants et nous aurons une image microscopique de la solidification.
La transition solide-liquide est la manifestation de deux phénomènes antagonistes, qui mettent en jeu énergie et entropie. Dans cette matière macroscopique en effet, les configurations des molécules sont innombrables ; chacune d'entre elles est susceptible de se réaliser avec une petite probabilité, d'autant plus grande que son énergie est plus basse. À basse température, dans la phase solide donc, les configurations de basse énergie, très ordonnées spatialement pour autoriser les molécules à « profiter » de leur attraction réciproque, ont un poids dominant. En revanche à plus haute température, la multiplicité des configurations possibles conduit à rejeter les configurations ordonnées, à privilégier des configurations plus énergétiques, bien moins probables donc, mais si nombreuses que cette considération (identifiée par Boltzmann à l'entropie des thermodynamiciens) l'emporte. Comparons le liquide et le solide : le liquide est isotrope, aucune direction n'y est privilégiée. Il est également tout à fait homogène, identique en tous ses points. Le solide lui possède des axes cristallins privilégiés et des points qui servent de sommets au réseau périodique sur lequel sont venus se ranger les molécules. Il est donc, certes plus ordonné que le liquide, mais moins symétrique que lui puisque des opérations telles que des rotations ou des translations arbitraires qui ne changent rien au liquide, ne laissent pas le solide invariant. Cette brisure de symétrie, manifestée par l'ordre cristallin, est spontanée en ce sens qu'elle ne nécessite aucun agent extérieur, aucune interaction privilégiant des directions particulières.
Pour visualiser de manière plus intuitive une brisure spontanée de symétrie, on peut considérer le flambement d'une poutre sous l'effet d'une charge excessive. Même si la pression exercée coïncide bien avec l'axe de la poutre, celle-ci finira par flamber de manière asymétrique si la pression dépasse un certain seuil. On voit donc que cela implique de compléter quelque peu le principe de Curie : la symétrie d'un état particulier résultant d'une cause déterminée, peut avoir moins de symétrie que cette dernière. Seul l'ensemble des états possibles sous l'effet de cette cause a la symétrie des effets qui l'ont provoquée.
Un grand nombre des changements d'état de la matière résultent donc de ce phénomène de symétrie brisée. Les « aimants » permanents présentent une aimantation dans une direction spatiale bien déterminée qui disparaît au-delà d'une certaine température (celle-ci porte le nom de Curie qui avait découvert cette transition entre un état « ferromagnétique » aimanté et présentant une orientation, et un état « paramagnétique » désorienté et donc tout à fait isotrope). De nos jours la supraconductivité, la superfluidité, les phases des cristaux liquides, et bien d'autres changements d'états, n'ont cessé d'enrichir le catalogue des symétries spontanément brisées que présente l'organisation de la matière. Les défauts à l'ordre eux-mêmes (un solide, et toute structure ordonnée, possèdent des défauts) s'organisent d'une manière tout à fait caractéristique des symétries brisées présentes dans la structure.
La compréhension du mécanisme de la compétition ordre-désordre (ou énergie-entropie) mise en jeu dans ces transitions s'est étendue sur de nombreuses décennies. Après de longues années d'interrogations inconclusives, les travaux de 1940 du physicien R. Peierls, qui avait fui le nazisme en Angleterre, montraient que la formulation statistique de la physique qui doit tant à Boltzmann, contenait bien la possibilité, la nécessité même, de transition de phase par brisure spontanée de symétrie. À la même époque, l'étude systèmatique par L. Landau en Union Soviétique, des types de symétrie et de leurs brisures spontanées, mettait en quelques sorte fin au problème. Landau introduisait le concept fort important de paramètre d'ordre qui permet de caractériser la transition de phase et les phénomènes singuliers qui l'accompagnent. Dans la phase symétrique, c'est-à-dire désordonnée, ce paramètre est nul. En revanche dans la phase ordonnée, c'est-à-dire de symétrie brisée, il prend une valeur non nulle spontanément, i.e. en l'absence de tout sollicitation extérieure.
Mais le problème devait resurgir dans les années 60 par l'arrivée de moyens expérimentaux nouveaux, tels que les lasers ou la diffraction des neutrons, qui révélaient que la théorie développée par Landau, bien que souvent qualitativement en accord avec l'expérience, était en fait quantitativement erronée. Que l'on me permette de ne pas tenter d'exposer ici les travaux sur le groupe de renormalisation, qui permirent de résoudre ce problème (et bien d'autres à sa suite) et valurent à l'américain K. Wilson le prix Nobel de physique 1981.
Symétries du monde subnucléaire
Les concepts de symétrie, associée à des opérations qui laissent le système invariant, ont joué un rôle central dans les idées de la physique. Je me contenterai de citer, sans la développer ici, la contradiction entre les symétries galiléennes de la mécanique classique, et celles de Lorenz-Poincaré de l'électrodynamique de Maxwell. C'est elle qui conduisit Einstein à la relativité restreinte. Un peu plus tard Einstein, toujours guidé par le souci de décrire les lois de la physique de manière universelle, indépendante de l'état de mouvement des observateurs, aboutit par des considérations d'invariance, c'est-à-dire de symétrie, à la relativité générale, nouvelle théorie de la gravitation, base indispensable de la cosmologie contemporaine. Plus près de nous les quarks, éléments constitutifs de la matière « hadronique » (c'est-à-dire liée par des forces nucléaires fortes), ont été mis en évidence par les propriétés de symétrie présentées par la classification des particules élémentaires, une démarche qui rappelait l'élucidation de la structure des atomes à partir des régularités du tableau de Mendeleïev.
Mais je voudrais tenter de décrire ici les idées très importantes de symétrie locale (plus couramment appelées symétries de jauge, même si cette dénomination n'est pas très éclairante) qui ont permis de comprendre à la période contemporaine les interactions entre particules élémentaires (électromagnétiques ainsi que nucléaires faibles et fortes). La symétrie n'est plus cette fois une simple propriété de la structure, mais l'élément qui permet de fixer entièrement la dynamique des forces électromagnétiques et nucléaires.
En 1925 les travaux du physicien anglais P.A.M. Dirac établissaient une théorie de l'électron en interaction avec le rayonnement électromagnétique qui incorporait à la fois la nouvelle mécanique des quanta, la relativité et les équations de Maxwell de l'électromagnétisme. Le physicien-mathématicien H. Weyl réalisa que l'interaction entre les particules dotées d'une charge électrique et le rayonnement électromagnétique, telle qu'elle apparaissait dans la théorie de Dirac, résultait de manière unique d'une propriété de symétrie insoupçonnée. Renversant le raisonnement, cette symétrie de « jauge » est alors suffisante pour fixer la théorie de Maxwell-Dirac. Une explication précise demanderait un peu trop de formalisme. En quelques mots il faut savoir que les états d'une particule comme l'électron, sont décrits en mécanique quantique par une fonction d'onde qui est un nombre complexe en chaque point de l'espace-temps (on peut se représenter cela par un vecteur dans un plan associé à chaque point de l'espace-temps). La théorie ne change pas si on modifie cette phase de la même quantité pour tous les points de l'espace-temps (c'est-à-dire si on fait tourner tous ces vecteurs dans le plan du même angle). Cette première symétrie n'est pas tout à fait banale, puisqu'elle implique que la charge électrique est « conservée », c'est-à-dire que dans tout processus la charge finale est la même que la charge initiale.
Peut-on modifier cette phase indépendamment pour chaque point de l'espace-temps ? A priori la réponse est négative, c'est-à-dire qu'en l'absence de champ électromagnétique, cette opération n'est certainement pas une symétrie de la théorie. Mais Weyl comprit que le champ électromagnétique avait précisément pour fonction d'instituer cette propriété d'invariance locale. Le champ résultant de cette invariance postulée obéit aux équations de Maxwell, et il introduit manifestement des interactions de portée infinie puisqu'il autorise de changer indépendamment les phases en des points arbitrairement espacés. Ce champ est constitué en termes quantiques de photons comme l'avait compris Einstein, particules sans masse, puisque porteuses d'une symétrie s'étendant à des distances arbitraires infinies (la portée est proportionnelle à l'inverse de cette masse).
La généralisation de ces idées à des symétries plus complexes qu'une simple rotation de vecteurs dans un plan, fut l'Suvre de Yang et Mills en 1956. Y apparaissent d'autres champs de « jauge » que les photons, qui ne reçurent initialement guère d'attention car, pour les mêmes raisons, les particules associées étaient elles-aussi sans masse et donc les interactions médiées par ces champs de portée infinie. Les théoriciens en butte avec la compréhension des forces nucléaires, et en particulier les forces dites « faibles », responsables par exemple de la désintégration bêta de noyaux dotés d'un excès de neutrons, auraient volontiers adopter une théorie de Yang-Mills, mais la portée des forces nucléaires faibles ne dépassant guère quelques milliardièmes de milliardième de mètre, il paraissait impossible, absurde même, de vouloir les faire sortir d'une théorie dans laquelle la portée des interactions est arbitrairement grande. C'est la compréhension du mécanisme de symétrie brisée qui permit d'établir finalement cette théorie des interactions faibles, unifiée de surcroît avec la théorie de l'électromagnétisme (modèle de Weinberg-Salam et nombreux travaux dont ceux de T. Hooft et Veltman, prix Nobel 1999). On introduit, en plus des particules usuelles, un champ de matière supplémentaire, le « boson de Higgs » (toujours hypothétique et activement recherché expérimentalement). Dans une première phase symétrique, qui a peut-être existé pendant quelques infimes instants après le big-bang, le scénario de Yang-Mills avec tous ses champs de masse nulle était à l'Suvre, mais une brisure spontanée de symétrie, une transition de phase analogue à celle de la supraconductivité évoquée à propos de la matière macroscopique, faisait apparaître une nouvelle phase, celle de notre monde d'aujourd'hui, dans laquelle certains des champs de Yang-Mills devenaient massifs, comme il se devait pour être conforme aux observations. La découverte expérimentale des particules Z et W± au CERN dans les années soixante-dix, analogues aux photons dans leur rôle de porteurs d'une symétrie locale, mais massifs pour ne transmettre l'interaction que sur une courte portée, établissaient la validité de cette extraordinaire construction.
Transitions de phase et cosmologie : les modèles d'univers en inflation
Le scénario classique du « big-bang », univers en expansion adiabatique à partir d'une singularité initiale, a connu des succès multiples. Le plus notable est la prédiction, aujourd'hui abondamment confirmée, du rayonnement « fossile », abandonné à lui-même depuis des milliards d'années sans jamais interagir, dans lequel baigne l'univers. Mais diverses observations dont cette théorie devrait rendre compte, telles que la compréhension du rapport entre le nombre de particules massives et le nombre de photons observés aujourd'hui, ou encore la nécessité d'une courbure de l'univers excessivement faible dans les premiers instants du big-bang, ont conduit là aussi à invoquer un mécanisme de symétrie spontanément brisée à l'origine de notre univers. Ces modèles d'univers en inflation, proposés par l'américain A. Guth et le russe (de Stanford désormais) A. Linde, résolvent les problèmes mentionnés ci-dessus si l'on suppose que l'univers a connu une transition de phase avec une brusque augmentation d'entropie, dans laquelle notre espace-temps est apparu, un peu comme une bulle de vapeur dans un liquide à son point d'ébullition. Diverses variantes de cette idée sont aujourd'hui considérées, telle l'inflation chaotique qui suppose la formation d'une écume de bulles, sans connections causales mutuelles, évoluant chacune en différents types d'univers. Seule l'une d'entre elles serait devenu notre univers. La validation de ces divers scénarios repose sur leur capacité à reproduire les paramètres aujourd'hui observés de notre univers, et il est sans doute bien trop tôt pour conclure, mais les cosmologistes semblent très généralement devoir faire appel à une symétrie brisée pour modéliser l'évolution de l'univers.
Conclusion
Je suis conscient que ces quelques lignes doivent paraître souvent bien incompréhensibles. Je souhaiterais simplement que le lecteur qui m'aurait accompagné jusque-là, partage notre émerveillement devant un monde dont l'évolution et dont les forces en présence, sont presque exclusivement fixées par ses symétries et leurs brisures. Jamais un si petit nombre de principes n'avaient suffi à embrasser une telle diversité de situations. En définitive, à l'échelle des constituants élémentaires de la matière, seule la compréhension d'une théorie quantique de la gravitation échappe encore à cette construction.
Lectures complémentaires
Les actes du 4e colloque Physique et interrogations fondamentales, intitulé « Symétrie et brisure de symétrie » ont été publiés par EDP Sciences en 1999. Plusieurs contributions développent certains des thèmes évoqués ci-dessus.
et Balado
